问道数学编程小题

如果你对数学中的数论问题充满好奇，尤其是关于整数约数个数的深入探究，这篇文章不容错过。文章详细解析了在10^12范围内，寻找具有最大约数个数的整数n的性质，以及如何通过数学逻辑和计算工具来解决这个问题。跟随文章的思路，你将了解到一种独特的数学方法和结论。推荐给所有对数学奥秘感兴趣的读者！

用d(n)表示n的约数个数,则d(n)=∏(v(p,n)+1).

考虑10^12内,满足d(n)>max{d(k):k<n}的正整数n的性质.

首先对素数p<q,应有v(p,n)≥v(q,n).

否则对m=n·(p/q)^(v(q,n)-v(p,n))<n,有d(m)=d(n).

于是,若v(37,n)≥1,则v(2,n)≥v(3,n)≥...≥v(37,n)≥1,

可得n≥2×3×...×31×37>10^12,不在讨论范围内.

因此对p≥37,都有v(p,n)=0.

若v(31,n)=1,由10^12/5<2×3×...×31<10^12/4,

n只可能为2×3×...×31及其2,3,4倍.

d(n)最大为(3+1)×(1+1)×...×(1+1)=4096.

以下只需考虑v(31,n)=0的情况.

由2^5>31,如果v(2,n)≥9,而v(31,n)=0.

可知整数m=31n/2^5<n,且d(m)≥d(n).

因此v(2,n)≤8.

同理,由3^4>31,同理可得v(3,n)≤6.

类似有v(5,n)≤4,v(7,n)≤2,v(11,n)≤2,...

如果v(19,n)≥2,则v(2,n)≥v(3,n)≥...≥v(19,n)≥2,

可得n≥(2×3×...×19)^2>10^12,不在讨论范围内.

因此对p≥19,都有v(p,n)≤1.

至此就将指数范围限制为9×7×5×3^4×2^3=204120种情况.

已经在计算能力范围内,所以图省事没考虑什么算法.

直接用Mathematica:

6720>4096,所以就是10^12以内d(n)的最大值.

上面的估计也适用小于10^12的上界.

不过要完全列举范围内具有给定约数个数的整数比较麻烦.

经过琐碎的步骤:

对n<10^5,d(n)最大为128,对应n=83160,98280;

对n<10^6,d(n)最大为240,对应n=720720,831600,942480,982800,997920;

对n<10^7,d(n)最大为448,对应n=8648640;

对n<10^12,d(n)最大为6720,对应n=963761198400.